1. Siswa dapat menentukan operasi hitung bilangan bulat dan dapat dengan memanfaatkan berbagai sifat operasi
2. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
dengan operasi hitung bilangan bilangan bulat dan bilangan pecahan
3. Siswa dapat menentukan faktor dari suatu bilangan
4. Siswa dapar menentukan kelipatan suatu bilangan
5. Siswa dapat menentukan faktor prima suatu bilangan
6. Siswa dapat menentukan FPB dan KPK bilangan
1. Operasi Penjumlahan
Bilangan Bulat
Sifat-sifat operasi
penjumlahan bilangan bulat :
·
Tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.
·
Komutatif
a + b = b + a
a + b = b + a
·
Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
(a + b) + c = a + (b + c)
·
Unsur Identitas
a + 0 = 0 + a = a
a + 0 = 0 + a = a
Contoh
:
·
5 + 4 = 9
4 + 5 = 9
Jadi, 5 + 4 = 4 + 5
4 + 5 = 9
Jadi, 5 + 4 = 4 + 5
·
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 =9
Jadi, 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 =9
Jadi, 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
2.
Operasi Pengurangan Bilangan Bulat
Operasi pengurangan merupakan
invers (lawan) dari operasi penjumlahan.
Berikut ini adalah beberapa sifat dari operasi pengurangan bilangan bulat :
Berikut ini adalah beberapa sifat dari operasi pengurangan bilangan bulat :
·
invers dari a adalah –a
·
a – b = a + (-b)
·
a – (-b) = a + b
·
-a – (-b) = -a + b
·
-a – b = -a + (-b)
Contoh
:
·
15 – 3 = 12
15 + (-3) = 12
Jadi, 15 – 3 = 15 + (-3)
15 + (-3) = 12
Jadi, 15 – 3 = 15 + (-3)
·
13 – (-4) = 17
13 + 4 = 17
Jadi, 13 – (-4) = 13 + 4
13 + 4 = 17
Jadi, 13 – (-4) = 13 + 4
·
-6 – (-5) = -1
-6 +5 = -1
Jadi, -6 – (-5) = -6 +5
-6 +5 = -1
Jadi, -6 – (-5) = -6 +5
·
-20 – 5 = -25
-20 + (-5) = -25
Jadi, -20 – 5 = -20 + (-5)
-20 + (-5) = -25
Jadi, -20 – 5 = -20 + (-5)
3.
Operasi Perkalian Bilangan Bulat
Pada prinsipnya, perkalian
merupakan penjumlahan berulang. Jika a adalah bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka: a x b = b + b + b + … +b (sebanyak a kali)
Contoh :
Contoh :
·
3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15
·
4 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8
Berikut ini adalah
sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian bilangan bulat :
·
Tertutup : Untuk setiap bilangan bulat a, b, jika a x b = c maka
c juga bilangan bulat.
·
Komutatif :
a x b = b x a
a x b = b x a
·
Asosiatif :
(a x b) x c = a x (b x c)
(a x b) x c = a x (b x c)
·
Unsur Identitas :
a x 1 = 1 x a = a
a x 1 = 1 x a = a
·
Distributif :
a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
Contoh
:
Dalam satu hari Andi mempu
menyisihkan uang sakunya sebesar Rp 3.500,00 untuk ditabung. Jika Andi terus
menabung dalam jumlah yang sama selama tiga minggu berturut-turut dengan jumlah
yang sama, berapakah total tabungan yang dimiliki Andi?
Penyelesaian :
Ingat bahwa 1 minggu = 7 hari.
Banyaknya uang tabungan Andi = 3 x 7 x Rp 3.500,00 = 21 x Rp 3.500,00 = Rp 73.500,00
Banyaknya uang tabungan Andi = 3 x 7 x Rp 3.500,00 = 21 x Rp 3.500,00 = Rp 73.500,00
4.
Operasi Pembagian Bilangan Bulat
Operasi pembagian merupakan
invers (lawan) dari operasi perkalian.
Jika perkalian dapat dimaknai sebagai penjumlahan berulang, maka operasi pembagian dapat diartikan sebagai operasi pengurangan berulang.
Dengan demikian, jika a x b = n dengan a, b, dan n bilangan bulat positif maka n dapat dinyatakan sebagai pengurangan berulang :
Jika perkalian dapat dimaknai sebagai penjumlahan berulang, maka operasi pembagian dapat diartikan sebagai operasi pengurangan berulang.
Dengan demikian, jika a x b = n dengan a, b, dan n bilangan bulat positif maka n dapat dinyatakan sebagai pengurangan berulang :
n – b – b – b – …. – b = 0
(sebanyak a kali)
(sebanyak a kali)
atau
n – a – a – a – …. – a = 0
(sebanyak b kali)
n – a – a – a – …. – a = 0
(sebanyak b kali)
Adapun sifat-sifat yang
berlaku pada operasi pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :
·
a : b = a x 1/b, b≠ 0
·
a : 0 = tak terdefinisi
Contoh
:
Pak Hadi memetik 30 buah
mangga dari kebunnya. Mangga-mangga itu rencananya akan dibagi rata kepada enam
orang saudaranya. Dengan menggunakan prinsip pembagian, dapatkah kalian
menentukan berapa banyak mangga yang diterima oleh masing-masing saudara Pak
Hadi?
Penyelesaian:
30 dibagi 6 dapat diartikan
sebagai pengurangan 30 oleh 6 secara berulang hingga diperoleh hasil nol
(habis).
Pengurangan tersebut dapat dituliskan dengan : 30 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0.
Tampak bahwa 30 harus dikurangi 6 sebanyak lima kali untuk memperoleh hasil nol.
Dengan demikian dapat diartikan bahwa 30 : 6 = 5.
Jadi, masing-masing saudara Pak Hadi akan menerima 5 buah mangga.
Pengurangan tersebut dapat dituliskan dengan : 30 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0.
Tampak bahwa 30 harus dikurangi 6 sebanyak lima kali untuk memperoleh hasil nol.
Dengan demikian dapat diartikan bahwa 30 : 6 = 5.
Jadi, masing-masing saudara Pak Hadi akan menerima 5 buah mangga.
- Kelipatan
Kelipatan adalah mengalikan bilangan dengan setiap bilangan asli
secara berurutan. Misalnya, kita pilih satu bilangan, yaitu 2. Kemudian, angka 2
tersebut kita kalikan dengan bilangan asli secara berurutan, seperti:
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6 … dst.
Jadi, angka 2, 4, 6, dan seterusnya merupakan kelipatan dari 2.
- Faktor
Faktor adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi sampai habis
suatu bilangan. Misalnya, kita pilih satu bilangan, yaitu 10. Nah,
angka 10 ini kira-kira bisa habis dibagi oleh angka apa saja, nih?
Benar! Angka 10 bisa dibagi oleh 1, 2, 5, dan 10. Jadi, 1, 2, 5, dan 10 ini
merupakan faktor dari 10, .
§
Faktor Prima
Faktor prima adalah
faktor-faktor dari bilangan bulat yang hanya memiliki dua faktor saja, yaitu 1
dan bilangan itu sendiri
Contoh
Tentukan faktor prima dari 50
jadi faktor prima dari 50 adalah 2 dan 5
Contoh
Tentukan faktor prima dari 50
jadi faktor prima dari 50 adalah 2 dan 5
- Kelipatan
Persekutuan Terkecil (KPK)
KPK adalah bilangan kelipatan
terkecil yang sama dari banyaknya bilangan yang dimaksud.
Banyaknya bilangan yang dimaksud ini bisa berupa 2 bilangan, 3 bilangan, dan
seterusnya. Contoh:
Kita akan menentukan KPK dari 2 bilangan, yaitu 5 dan 6. Langkah
pertama yang kita lakukan adalah mencari kelipatan dari masing-masing bilangan
tersebut.
5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
6 = 6, 12, 18, 24, 30, ...
Setelah itu, kita peroleh kelipatan bilangan terkecil yang sama
dari 5 dan 6, yaitu 30. Jadi, KPK dari 5 dan 6 adalah 30.
- Faktor Persekutuan
Terbesar (FPB)
FPB adalah faktor terbesar yang sama
dari banyaknya bilangan yang dimaksud. Sama halnya dengan KPK, banyaknya
bilangan yang dimaksud ini bisa berupa 2 bilangan, 3 bilangan, atau
lebih. Contoh:
Kita akan mencari nilai FPB dari 2 bilangan, yaitu 12 dan 18.
Langkah pertama yang kita lakukan adalah mencari faktor atau bilangan yang
dapat membagi habis dari masing-masing bilangan tersebut.
12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Setelah itu, kita peroleh faktor bilangan terbesar yang sama dari
12 dan 18, yaitu 6. Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6.
Tentukan FPB dan KPK dari 12 dan 18
FPB =6
KPK =2 x 2 x 3 x 3 =36
Contoh penggunaan FPB dan KPK
Tentukan FPB dan KPK dari 12 dan 18
FPB =6
KPK =2 x 2 x 3 x 3 =36
Contoh penggunaan FPB dan KPK
Zainul,
Evan, dan Tohir mempunyai langganan bakso yang sama. Zainul membeli bakso
setiap 2 hari sekali, Evan setiap 3 hari sekali, sedangkan Tohir setiap 5 hari
sekali. Jika pada hari ini mereka membeli bakso bersama-sama,tentukan setiap
berapa hari mereka makan bakso bersama-sama
Penyelesaian:
Pola
makan Zainul, Evan, dan Tohir adalah Kelipatan Persekutuan dari 2, 3, dan 5.
Jadi Zainul, Evan, dan Tohir akan makan bersama-sama lagi setelah 30 hari, 60 hari, 90 hari, dan seterusnya. 30 hari terhitung sejak hari mereka makan bersama pertama kali
Jadi Zainul, Evan, dan Tohir akan makan bersama-sama lagi setelah 30 hari, 60 hari, 90 hari, dan seterusnya. 30 hari terhitung sejak hari mereka makan bersama pertama kali
Sumber : buku paket matematika karangan Abdur Rachman, dkk
Semoga bermanfaat
PERKALIAN BILANGAN BULAT
https://drive.google.com/file/d/1DTSptN4ah7KDpT8VLEwiMPb2R0Z61IHL/view?usp=sharing
PEMBAGIAN BILANGAN BULAT
https://drive.google.com/file/d/1GW56xZGcs9b8RLTmtN4MUD3NPBut5vt8/view?usp=sharing
FPB DAN KPK
https://drive.google.com/file/d/1B8lWcc6_r9hfVMqpFh17A4kqzKUWIdS2/view?usp=sharing
BILANGAN BULAT DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI