Pembelajaran Matematika: GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

Senin, 22 Februari 2021

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

Garis singgung lingkaran terdiri dari deretan titik yang tersusun secara berimpit satu sama lain

Garis singgung lingkaran

Garis AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Konsep untuk mengetahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah teorema pythagoras. Langkah pertama adalah proyeksikan titik P ke garis OA. Panjang garis PP’ sama dengan garis AB, sehingga dengan menghitung panjang PP’ maka kita juga akan mendapatkan panjang AB (garis singgung persekutuan dua lingkaran).

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

$PP' = \sqrt{OP^{2}-\left( OP'\right)^{2}}$

Karena $OP' = OA - BP = R - r$ maka,

$PP' = \sqrt{OP^{2} - \left( R - r\right)^{2}}$

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan luar dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran:

$AB = PP' = \sqrt{OP^{2}-(R-r)^{2}}$

Keterangan:
AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran
OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran
R = Jari-jari lingkaran besar
r = jari-jari lingkaran kecil

Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 9 cm
D. 10 cm

Pembahasan:
Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.

garis singgung lingkaran persekutuan luar

$AB =\sqrt{OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}}$

$AB^{2} =OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}$

$24^{2} =26^{2}-\left( 18 - r\right)^{2}$

$676 =576 - \left( 18 - r\right)^{2}$

$\left( 18 - r\right)^{2} =676 - 576$

$\left( 18 - r\right)^{2} = 100$

$18 - r = 10$

$- r = 10 -18$

$- r = -8 \rightarrow r = 8 \; cm$

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Seperti halnya garis singgung persekutuan luas dua lingkaran, garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik singgung lingkaran pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan dua titik singgung lingkaran pada garis singggung persekutuan dalam dua lingkaran terletak bersebrangan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah!

Garis singgung lingkaran

Sama halnya dengan garis singgung persekutuan dalam, garis singgung persekutuan luar juga didapat dengan menerapkan konsep teorema phytagoras.

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

$PP' = \sqrt{OP^{2}-\left( OP'\right)^{2}}$

Karena $OP' = OA + BP = R + r$ maka,

$PP' = \sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}}$

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan dalam

$AB = PP' = \sqrt{OP^{2} - (R + r)^{2}}$

Keterangan:
AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran
OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran
R = Jari-jari lingkaran besar
r = jari-jari lingkaran kecil

Contoh :

Perhatikan gambar berikut!

garis singgung lingkaran dalam

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….
A. 12 cm
B. 15 cm
C. 17 cm
D. 20 cm

Pembahasan: