OPERASI BILANGAN BULAT

Tujuan Pemebelajaran:
1. Siswa dapat menentukan operasi hitung bilangan bulat dan dapat dengan memanfaatkan berbagai sifat operasi

2. Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan operasi hitung bilangan bilangan bulat dan bilangan pecahan

3. Siswa dapat menentukan faktor dari suatu bilangan

4. Siswa dapar menentukan kelipatan suatu bilangan

5. Siswa dapat menentukan faktor prima suatu bilangan

6. Siswa dapat menentukan FPB dan KPK bilangan

1. Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat

Sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan bulat :

·         Tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.

·         Komutatif
a + b = b + a

·         Asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)

·         Unsur Identitas
a + 0 = 0 + a = a

Contoh :

·         5 + 4 = 9
4 + 5 = 9
Jadi, 5 + 4 = 4 + 5

·         2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 =9
Jadi, 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

2. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat

Operasi pengurangan merupakan invers (lawan) dari operasi penjumlahan.
Berikut ini adalah beberapa sifat dari operasi pengurangan bilangan bulat :

·         invers dari a adalah –a

·         a – b = a + (-b)

·         a – (-b) = a + b

·         -a – (-b) = -a + b

·         -a – b = -a + (-b)

Contoh :

·         15 – 3 = 12
15 + (-3) = 12
Jadi, 15 – 3 = 15 + (-3)

·         13 – (-4) = 17
13 + 4 = 17
Jadi, 13 – (-4) = 13 + 4

·         -6 – (-5) = -1
-6 +5 = -1
Jadi, -6 – (-5) = -6 +5

·         -20 – 5 = -25
-20 + (-5) = -25
Jadi, -20 – 5 = -20 + (-5)

3. Operasi Perkalian Bilangan Bulat

Pada prinsipnya, perkalian merupakan penjumlahan berulang. Jika a adalah bilangan bulat positif dan b bilangan bulat, maka: a x b = b + b + b + … +b (sebanyak a kali)
Contoh :

·         3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15

·         4 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -8

Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian bilangan bulat :

·         Tertutup : Untuk setiap bilangan bulat a, b, jika a x b = c maka c juga bilangan bulat.

·         Komutatif : 
a x b = b x a

·         Asosiatif : 
(a x b) x c = a x (b x c)

·         Unsur Identitas : 
a x 1 = 1 x a = a

·         Distributif : 
a(b + c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac

Contoh :

Dalam satu hari Andi mempu menyisihkan uang sakunya sebesar Rp 3.500,00 untuk ditabung. Jika Andi terus menabung dalam jumlah yang sama selama tiga minggu berturut-turut dengan jumlah yang sama, berapakah total tabungan yang dimiliki Andi?

Penyelesaian :

Ingat bahwa 1 minggu = 7 hari.
Banyaknya uang tabungan Andi = 3 x 7 x Rp 3.500,00 = 21 x Rp 3.500,00 = Rp 73.500,00

4. Operasi Pembagian Bilangan Bulat

Operasi pembagian merupakan invers (lawan) dari operasi perkalian.
Jika perkalian dapat dimaknai sebagai penjumlahan berulang, maka operasi pembagian dapat diartikan sebagai operasi pengurangan berulang.
Dengan demikian, jika a x b = n dengan a, b, dan n bilangan bulat positif maka n dapat dinyatakan sebagai pengurangan berulang :

n – b – b – b – …. – b = 0
(sebanyak a kali)

atau 
n – a – a – a – …. – a = 0

(sebanyak b kali)

Adapun sifat-sifat yang berlaku pada operasi pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :

·         a : b = a x 1/b, b≠ 0

·         a : 0 = tak terdefinisi

Contoh :

Pak Hadi memetik 30 buah mangga dari kebunnya. Mangga-mangga itu rencananya akan dibagi rata kepada enam orang saudaranya. Dengan menggunakan prinsip pembagian, dapatkah kalian menentukan berapa banyak mangga yang diterima oleh masing-masing saudara Pak Hadi?

Penyelesaian:

30 dibagi 6 dapat diartikan sebagai pengurangan 30 oleh 6 secara berulang hingga diperoleh hasil nol (habis).
Pengurangan tersebut dapat dituliskan dengan : 30 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 = 0. 
Tampak bahwa 30 harus dikurangi 6 sebanyak lima kali untuk memperoleh hasil nol.
Dengan demikian dapat diartikan bahwa 30 : 6 = 5. 
Jadi, masing-masing saudara Pak Hadi akan menerima 5 buah mangga.

• Kelipatan

Kelipatan adalah mengalikan bilangan dengan setiap bilangan asli secara berurutan. Misalnya, kita pilih satu bilangan, yaitu 2. Kemudian, angka 2 tersebut kita kalikan dengan bilangan asli secara berurutan, seperti:

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

              2 x 3 = 6 … dst.

Jadi, angka 2, 4, 6, dan seterusnya merupakan kelipatan dari 2.

• Faktor

Faktor adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi sampai habis suatu bilangan. Misalnya, kita pilih satu bilangan, yaitu 10. Nah, angka 10 ini kira-kira bisa habis dibagi oleh angka apa saja, nih? Benar! Angka 10 bisa dibagi oleh 1, 2, 5, dan 10. Jadi, 1, 2, 5, dan 10 ini merupakan faktor dari 10, .

§  Faktor Prima

 Faktor prima adalah faktor-faktor dari bilangan bulat yang hanya memiliki dua faktor saja, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri

Contoh 
Tentukan faktor prima dari 50

jadi faktor prima dari 50 adalah 2 dan 5

• Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

KPK adalah bilangan kelipatan terkecil yang sama dari banyaknya bilangan yang dimaksud. Banyaknya bilangan yang dimaksud ini bisa berupa 2 bilangan, 3 bilangan, dan seterusnya. Contoh:

Kita akan menentukan KPK dari 2 bilangan, yaitu 5 dan 6. Langkah pertama yang kita lakukan adalah mencari kelipatan dari masing-masing bilangan tersebut.

        5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, …

6 = 6, 12, 18, 24, 30, ...

Setelah itu, kita peroleh kelipatan bilangan terkecil yang sama dari 5 dan 6, yaitu 30. Jadi, KPK dari 5 dan 6 adalah 30.

• Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

FPB adalah faktor terbesar yang sama dari banyaknya bilangan yang dimaksud. Sama halnya dengan KPK, banyaknya bilangan yang dimaksud ini bisa berupa 2 bilangan, 3 bilangan, atau lebih. Contoh:

Kita akan mencari nilai FPB dari 2 bilangan, yaitu 12 dan 18. Langkah pertama yang kita lakukan adalah mencari faktor atau bilangan yang dapat membagi habis dari masing-masing bilangan tersebut.

12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12.

18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Setelah itu, kita peroleh faktor bilangan terbesar yang sama dari 12 dan 18, yaitu 6. Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6. 

Tentukan FPB dan KPK dari 12 dan 18

FPB =6
KPK =2 x 2 x 3 x 3 =36

Contoh penggunaan FPB dan KPK

Zainul, Evan, dan Tohir mempunyai langganan bakso yang sama. Zainul membeli bakso setiap 2 hari sekali, Evan setiap 3 hari sekali, sedangkan Tohir setiap 5 hari sekali. Jika pada hari ini mereka membeli bakso bersama-sama,tentukan setiap berapa hari mereka makan bakso bersama-sama

 Penyelesaian:

Pola makan Zainul, Evan, dan Tohir adalah Kelipatan Persekutuan dari 2, 3, dan 5.
Jadi Zainul, Evan, dan Tohir akan makan bersama-sama lagi setelah 30 hari, 60 hari, 90 hari, dan seterusnya. 30 hari terhitung sejak hari mereka makan bersama pertama kali

Sumber : buku paket matematika karangan Abdur Rachman, dkk

Semoga bermanfaat

PERKALIAN BILANGAN BULAT
https://drive.google.com/file/d/1DTSptN4ah7KDpT8VLEwiMPb2R0Z61IHL/view?usp=sharing

PEMBAGIAN BILANGAN BULAT
https://drive.google.com/file/d/1GW56xZGcs9b8RLTmtN4MUD3NPBut5vt8/view?usp=sharing

FPB DAN KPK
https://drive.google.com/file/d/1B8lWcc6_r9hfVMqpFh17A4kqzKUWIdS2/view?usp=sharing

BILANGAN BULAT DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI